거리공간과 기본 정의 (2)

이 글의 목차

인터랙티브

열린 공의 모양은 거리함수에 따라 달라진다

d₁ 택시d₂ 유클리드d∞ 최대

반지름 r

2.0

ℝ²에서의 열린 공 Bᵣ(p)

Bᵣ(p) = { x ∈ X : d(x, p) < r }

이 참고 자료의 구성

이 글은 거리공간에만 한정하지 않고 해석학 입문에서 함께 쓰이는 여러 개념을 간결하게 정리합니다. 대수 구조에서 시작해 거리와 위상, 순서, 완비성, 극한으로 이어집니다. $\mathbb R$의 예를 기준점으로 삼으면 뒤의 개념들이 어떻게 연결되는지 보기 쉽습니다.

정의

대수 구조

1. 환, 체, 분배법칙

집합 $R$에 덧셈 $+$과 곱셈 $\cdot$이라는 두 이항연산이 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하면 $R$을 환이라고 한다.

1. $(R,+)$는 아벨군이다.
2. 곱셈은 결합법칙을 만족한다. 즉, 모든 $x,y,z\in R$에 대해 $(xy)z=x(yz)$이다.
3. 곱셈은 덧셈에 대해 양쪽으로 분배된다. 즉, 모든 $x,y,z\in R$에 대해 $x(y+z)=xy+xz$이고 $(x+y)z=xz+yz$이다.

모든 $x,y\in R$에 대해 $xy=yx$이면 가환환이라고 한다. 환에 곱셈 항등원을 요구하는지는 문헌마다 다르므로, 필요한 경우 그 조건을 명시한다. 체란 곱셈이 가환인 환 중 항등원 $1\ne0$이 있고, 모든 0이 아닌 원소가 곱셈 역원을 갖는 것이다. 즉, 각 $x\ne0$에 대해 $xy=yx=1$을 만족하는 $y$가 존재한다.

거리와 위상

2. 거리

공집합이 아닌 집합 $X$에서 함수 $d:X\times X\to\mathbb R$가 모든 $x,y,z\in X$에 대해 다음 조건을 만족하면 $d$를 $X$의 거리라고 한다.

1. 비음수성: $d(x,y)\ge0$.
2. 동일성: $d(x,y)=0$일 필요충분조건은 $x=y$이다.
3. 대칭성: $d(x,y)=d(y,x)$.
4. 삼각부등식: $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$.

동일성 조건만 약화하여 서로 다른 점 사이의 거리가 0일 수도 있도록 한 함수는 **유사거리(pseudometric)**라고 한다. *반거리(semimetric)*는 문헌에 따라 관련되지만 서로 다른 개념을 가리키기도 하므로 여기서는 사용하지 않는다.

3. 거리공간

집합 $X$와 그 위의 거리 $d$로 이루어진 쌍 $(X,d)$를 거리공간이라고 한다.

4. 유클리드 거리

양의 정수 $n$에 대해 유클리드 공간 $\mathbb R^n$은 실수 좌표를 갖는 벡터 $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 전체로 이루어진다. 표준 거리는 다음과 같다.

$d(x,y)=\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2\right)^{1/2}.$

5. 열린 공

거리공간 $(X,d)$에서 중심 $x_0\in X$와 반지름 $r>0$를 잡자. 중심이 $x_0$이고 반지름이 $r$인 열린 공은 다음과 같다.

$B_r(x_0)=\{x\in X:d(x_0,x)<r\}.$

중심에서 거리가 정확히 $r$인 점은 열린 공에 포함되지 않는다.

예를 들어 표준 거리를 갖는 $\mathbb R$에서 열린 공 $B_1(2)$는 구간 $(1,3)$이다. 양 끝점은 중심 $2$에서 거리가 정확히 $1$이므로 포함되지 않는다.

6. 근방

$p\in X$와 $r>0$에 대해 열린 공 $B_r(p)$는 $p$의 근방이다. 여기서 $p$를 뺀 천공 근방은

$B_r'(p)=B_r(p)\setminus\{p\}$

로 쓴다.

7. 집적점(한계점)

$E\subseteq X$라 하자. 점 $p\in X$가 $E$의 **집적점(한계점)**이라는 것은 $p$의 모든 천공 근방이 $E$와 만난다는 뜻이다. 즉,

$\forall r>0,\quad B_r'(p)\cap E\ne\varnothing.$

집적점 $p$ 자체가 $E$에 속할 필요는 없다.

8. 내부점과 외부점

$E\subseteq X$에 대해 어떤 열린 공이 $p$를 중심으로 하며 통째로 $E$에 포함되면 $p\in X$를 $E$의 내부점이라고 한다.

$\exists r>0\text{ such that }B_r(p)\subseteq E.$

$E$의 여집합 $E^c=X\setminus E$의 내부점을 $E$의 외부점이라고 한다. $E$의 내부점 전체를 $\operatorname{int}(E)$로 나타낸다. 한 점이 $E$와 $E^c$ 양쪽 모두의 내부점일 수는 없다.

9. 열린 집합과 닫힌 집합

거리공간 $X$의 부분집합 $E$가 열린 집합이라는 것은 $E$의 모든 점이 내부점이라는 뜻이며, 다음과 동치이다.

$\forall x\in E,\ \exists r>0\text{ such that }B_r(x)\subseteq E.$

$X$에서의 여집합이 열려 있는 집합을 닫힌 집합이라고 한다. 동치로, $E$가 자신의 모든 집적점을 포함하면 $E$는 닫혀 있다.

10. 덮개

$E\subseteq X$이고 $\mathcal U=\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}$가 $X$의 부분집합들로 이루어진 집합족이라고 하자.

1. $E\subseteq\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha$이면 $\mathcal U$를 $E$의 덮개라고 한다.
2. 모든 $U_\alpha$가 $X$에서 열려 있으면 열린 덮개라고 한다.
3. $E$를 여전히 덮는 부분집합족 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in J}$($J\subseteq I$)를 부분 덮개라고 한다.
4. 지표 집합 $J$가 유한하면 유한 부분 덮개라고 한다.

11. 콤팩트 집합

거리공간의 부분집합 $E$가 콤팩트라는 것은 $E$의 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가진다는 뜻이다. 즉, $E\subseteq\bigcup_{U\in\mathcal U}U$인 $X$의 열린 부분집합들의 임의의 집합족 $\mathcal U$에 대해, 다음을 만족하는 유한 부분집합족 $\mathcal V\subseteq\mathcal U$가 존재한다.

$E\subseteq\bigcup_{V\in\mathcal V}V.$

순서와 완비성

12. 순서집합

집합 $A$와 관계 $\le$의 쌍이 부분순서집합이 되려면 관계가 반사성, 반대칭성, 추이성을 만족해야 한다.

1. 반사성: 모든 $a\in A$에 대해 $a\le a$.
2. 반대칭성: $a\le b$이고 $b\le a$이면 $a=b$.
3. 추이성: $a\le b$이고 $b\le c$이면 $a\le c$.

임의의 두 원소를 항상 비교할 수 있으면 전순서라고 한다.

13. 상계, 하계, 상한, 하한

순서집합 $(X,\le)$의 부분집합 $A\subseteq X$를 생각하자. 모든 $x\in A$에 대해 $x\le u$이면 $u\in X$를 $A$의 상계라고 한다. 상계를 갖는 집합은 위로 유계라고 한다. $A$의 상계 중 모든 상계 이하인 원소 $s$를 $A$의 **상한(최소 상계)**이라 하며, 존재할 때 $\sup A$로 쓴다.

부등호의 방향을 반대로 하여 하계와 아래로 유계를 정의한다. 하계 중 모든 하계 이상인 원소를 **하한(최대 하계)**이라 하며, 존재할 때 $\inf A$로 쓴다. 상한이나 하한은 $A$에 속하지 않을 수도 있다.

14. 유리수와 무리수의 조밀성

실수는 자기 자신 안에서 조밀하다. 서로 다른 두 실수 사이에는 또 다른 실수가 존재한다. 구체적으로 $p,q\in\mathbb R$이고 $p<q$이면 $p<r<q$인 $r\in\mathbb R$가 존재한다.

유리수 $\mathbb Q$와 무리수 $\mathbb R\setminus\mathbb Q$도 각각 $\mathbb R$에서 조밀하다. 즉, 서로 다른 두 실수 사이에는 유리수도 있고 무리수도 있다.

15. 실수의 완비성

거리공간 $(X,d)$의 수열 $(a_n)$이 다음 조건을 만족하면 코시 수열이라고 한다.

$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N\text{ such that }m,n\ge N\implies d(a_m,a_n)<\varepsilon.$

공간 안의 모든 코시 수열이 그 공간의 점으로 수렴하면 그 거리공간을 완비라고 한다. 표준 거리를 갖춘 실수 $\mathbb R$는 완비이며, 이를 실수의 완비성이라고 한다.

극한

16. 상극한과 하극한

집합의 수열 $(A_n)$에 대해 집합론적 상극한과 하극한은 다음과 같이 정의한다.

$$\begin{aligned} \limsup_{n\to\infty} A_n &= \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k, \\ \liminf_{n\to\infty} A_n &= \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k. \end{aligned}$$

따라서 $x\in\limsup A_n$이면 $x$는 무한히 많은 $A_n$에 속하고, $x\in\liminf A_n$이면 충분히 큰 모든 $n$에 대해 $x\in A_n$이다.

실수 수열 $(a_n)$의 상극한과 하극한은 꼬리 수열의 상한과 하한을 이용해 다음과 같이 정의한다. 아래의 상한과 하한은 확장 실수에서 취한다.

$$\begin{aligned} \limsup_{n\to\infty} a_n &= \inf_{n\ge1}\sup_{k\ge n}a_k, \\ \liminf_{n\to\infty} a_n &= \sup_{n\ge1}\inf_{k\ge n}a_k. \end{aligned}$$

요약

대수 연산, 거리, 순서, 완비성은 서로 다른 개념이지만 해석학에서 함께 작동하며, 상극한과 하극한은 수열의 장기적인 거동을 요약한다.