축소구간 정리

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인터랙티브

이분법으로 목표점을 중첩 구간 안에 가둔다

반으로자동초기화

목표 x

0.37

x를 둘러싼 중첩 구간

01

x를 움직인 뒤 반으로를 눌러 가두세요.

I₀ ⊇ I₁ ⊇ … , |Iₙ| → 0 ⇒ ⋂ Iₙ = {x}

축소구간 정리

실수 집합 $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 닫힌구간들로 이루어진 열 $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$을 생각하자. 각 구간을 $I_n=[a_n,b_n]$이라 하고, 그 길이를 $\lvert I_n\rvert=b_n-a_n$으로 나타내자.

다음 두 조건을 가정한다.

1. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $I_{n+1}\subseteq I_n$이다.
2. $n\to\infty$일 때 $\lvert I_n\rvert\to 0$이다.

그러면 모든 구간에 공통으로 속하는 실수는 정확히 하나 존재한다. 즉,

$$\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n=\{x\}$$

이다. 구간들이 중첩되고 공집합이 아니라는 조건은 공통점의 존재를 보장하며, 구간의 길이가 0으로 수렴한다는 조건은 그 공통점의 유일성을 보장한다.

1. I₀ = [0, 1]
2. I₁ = [0, 1/2]
3. I₂ = [0, 1/4]
4. I₃ = [0, 1/8]
5. I₄ = [0, 1/16]

01

증명

구간들이 중첩되므로 왼쪽 끝점들은 단조 증가하여 $a_n\leq a_{n+1}$이다. 또한 모든 $n$에 대해 $a_n\leq b_n\leq b_1$이므로 왼쪽 끝점들은 위로 유계이다. 실수의 완비성에 따라 왼쪽 끝점들의 집합은 상한을 가지므로 다음과 같이 놓자.

$$x=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}.$$

$x$가 모든 $I_n$에 속함을 보이자. $n$을 하나 고정하자. 임의의 지표 $m$에 대해 $a_m\leq b_n$이다. $m\geq n$이면 $I_m\subseteq I_n$이고, $m<n$이면 $a_m\leq a_n\leq b_n$이기 때문이다. 따라서 $b_n$은 모든 왼쪽 끝점의 상계이므로 $x\leq b_n$이다. 한편 상한의 정의에 의해 $a_n\leq x$이다. 그러므로 $a_n\leq x\leq b_n$, 즉 $x\in I_n$이다. 이는 모든 $n$에 대해 성립하므로 공통점이 존재한다.

이제 유일성을 보이자. $x$와 $y$가 모두 모든 구간에 속한다고 가정하면, 각 $n$에 대해

$$\lvert x-y\rvert\leq b_n-a_n=\lvert I_n\rvert$$

이다. $\lvert I_n\rvert\to 0$이므로 음이 아닌 수 $\lvert x-y\rvert$는 임의로 작은 양수보다도 작거나 같다. 따라서 $\lvert x-y\rvert=0$, 즉 $x=y$이다. 공통점은 유일하다.

예: 이등분으로 한 점 찾기

$I_0=[0,1]$에서 시작해 매번 왼쪽 절반을 택하면 $I_n=[0,2^{-n}]$을 얻는다. 이 구간들은 공집합이 아닌 닫힌 중첩 구간이고 길이는 0으로 수렴하며, 공통점은 $0$ 하나뿐이다. 이등분은 미지의 실수를 점점 좁은 구간에 가두는 방법이며, 완비성은 그 극한점의 존재를 보장한다.

핵심 정리

실수의 공집합이 아닌 닫힌 중첩 구간은 완비성에 의해 공통점을 가지며, 길이가 0으로 줄어들면 그 점은 유일하다.