단조 수렴 정리

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인터랙티브

단조 유계 수열은 상한을 향해 올라간다

재생초기화

항의 개수 N

80

반경 ε

0.10

비감소 수열 aₙ = 1 − 1/n

재생을 눌러 항을 드러내거나 ε을 움직여 보세요.

aₙ ↑ L 이고 aₙ ≤ L ⇒ aₙ → L = sup{aₙ}

단조성은 수열이 움직이는 방향을 고정하고, 유계성은 항들이 끝없이 멀어지는 것을 막는다. 두 조건을 실수의 완비성과 결합하면 극한을 미리 추측하지 않고도 수렴을 보일 수 있어, 해석학에서 자주 쓰인다.

정리

$(a_n)$을 실수 수열이라고 하자.

• $(a_n)$이 단조 증가하고 위로 유계이면, 수열은 $\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$로 수렴한다.
• $(a_n)$이 단조 감소하고 아래로 유계이면, 수열은 $\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$로 수렴한다.

따라서 실수 단조 수열이 유한한 실수 극한을 가지는 것과 유계인 것은 동치이다.

단조 증가 수열의 증명

$(a_n)$이 단조 증가하고 위로 유계라고 하자. 치역 $A=\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$은 공집합이 아니며 위로 유계이다. 실수의 완비성에 따라 $A$에는 최소 상계 $L=\sup A$가 존재한다.

임의의 $\varepsilon>0$을 택하자. $L-\varepsilon$은 최소 상계 $L$보다 작으므로 $A$의 상계가 아니다. 따라서 어떤 $N$에 대해

$$L-\varepsilon<a_N\leq L$$

이다.

모든 $n\geq N$에 대해 단조성과 $L$의 상계 성질로부터

$$L-\varepsilon<a_N\leq a_n\leq L$$

을 얻는다. 따라서 모든 $n\geq N$에 대해 $|a_n-L|<\varepsilon$이고, 이는 $a_n\to L$임을 뜻한다.

단조 감소 수열의 경우에는 $(-a_n)$에 같은 논증을 적용하거나 치역의 최대 하계를 사용하면 된다. 반대로 수렴하는 모든 실수 수열은 유계이므로, 단조 실수 수열은 유계일 때 그리고 그때에만 유한한 극한을 가진다.

예

$n\geq1$에서 $a_n=1-\frac{1}{n}$이라 하자. 이 수열은 단조 증가하고 $1$을 상계로 가진다. 상한은 $1$이므로 정리에 따라 $\lim_{n\to\infty}a_n=1$이다.

비교를 위해 $b_n=n$을 보면 단조 증가하지만 위로 유계가 아니며 유한한 실수 극한도 없다. 위쪽 경계 조건은 이런 발산을 배제한다.

핵심 정리

움직이는 방향에 맞는 경계를 가진 실수 단조 수열은 수렴한다. 증가 수열의 극한은 상한이고, 감소 수열의 극한은 하한이다.