入れ子区間定理

目次

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二分法で目標点を入れ子区間に閉じ込める

半分に自動リセット

目標 x

0.37

x を囲む入れ子区間

01

x を動かしてから「半分に」を押してください。

I₀ ⊇ I₁ ⊇ … , |Iₙ| → 0 ⇒ ⋂ Iₙ = {x}

入れ子区間定理

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ における、空でない閉区間の列 $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を考える。各区間を $I_n=[a_n,b_n]$ とし、その 長さを $\lvert I_n\rvert=b_n-a_n$ と表す。

次の二つの条件を仮定する。

1. すべての $n\in\mathbb{N}$ について $I_{n+1}\subseteq I_n$ である。
2. $n\to\infty$ のとき $\lvert I_n\rvert\to 0$ である。

このとき、すべての区間に共通して含まれる実数がただ一つ存在する。すなわち、

$$\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n=\{x\}$$

である。区間が空でなく、互いに入れ子になっていることから共通点の存在が 保証され、区間の長さが 0 に収束することから、その共通点の一意性が保証される。

1. I₀ = [0, 1]
2. I₁ = [0, 1/2]
3. I₂ = [0, 1/4]
4. I₃ = [0, 1/8]
5. I₄ = [0, 1/16]

01

証明

区間が入れ子になっているので、左端点は単調非減少であり $a_n\leq a_{n+1}$ となる。また、すべての $n$ について $a_n\leq b_n\leq b_1$ だから、左端点の列は上に有界である。実数の完備性 により左端点全体の集合には上限が存在する。そこで

$$x=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$$

と定める。

$x$ がすべての $I_n$ に属することを示そう。$n$ を固定する。任意の添字 $m$ について $a_m\leq b_n$ である。$m\geq n$ なら $I_m\subseteq I_n$ であり、 $m<n$ なら $a_m\leq a_n\leq b_n$ だからである。したがって $b_n$ はすべての 左端点の上界であり、$x\leq b_n$ となる。一方、上限の定義から $a_n\leq x$ である。よって $a_n\leq x\leq b_n$、すなわち $x\in I_n$ である。これはすべての $n$ について成り立つため、共通点が存在する。

次に一意性を示す。$x$ と $y$ がともにすべての区間に属すると仮定すると、 すべての $n$ について

$$\lvert x-y\rvert\leq b_n-a_n=\lvert I_n\rvert$$

が成り立つ。$\lvert I_n\rvert\to 0$ なので、非負の数 $\lvert x-y\rvert$ はいくらでも小さい正の数 以下である。したがって $\lvert x-y\rvert=0$、つまり $x=y$ である。ゆえに共通点は ただ一つである。

例：二分法で点を絞り込む

$I_0=[0,1]$ から始め、毎回左半分を選ぶと $I_n=[0,2^{-n}]$ となる。これらは空でない閉入れ子区間で、長さは0に収束し、共通点は $0$ だけである。二分法は未知の実数を精度の高い区間に閉じ込める方法であり、完備性が目標点の存在を保証する。

要点

実数の空でない閉入れ子区間は完備性により共通点をもち、長さが0に縮むとその点は一意になる。