単調収束定理

目次

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単調で有界な数列は上限へ近づく

再生リセット

項数 N

80

半径 ε

0.10

非減少数列 aₙ = 1 − 1/n

再生で項を表示するか、ε を動かしてみてください。

aₙ ↑ L かつ aₙ ≤ L ⇒ aₙ → L = sup{aₙ}

単調性は数列が進む向きを定め、有界性は項が際限なく離れていくのを防ぐ。この二条件を$\mathbb R$の完備性と組み合わせることで、極限を先に予想せずに収束を示せるため、解析学でよく使われる。

定理

$(a_n)$を実数列とする。

• $(a_n)$が単調非減少で上に有界ならば、$\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$に収束する。
• $(a_n)$が単調非増加で下に有界ならば、$\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$に収束する。

したがって、実数の単調列が有限な実数極限を持つことと、有界であることは同値である。

単調非減少列の場合の証明

$(a_n)$が単調非減少で上に有界であるとする。その値域$A=\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$は空でなく、上に有界である。実数の完備性により、$A$には最小上界$L=\sup A$が存在する。

任意の$\varepsilon>0$を取る。$L-\varepsilon$は最小上界$L$より小さいため、$A$の上界ではない。したがって、ある番号$N$について

$$L-\varepsilon<a_N\leq L$$

となる。

すべての$n\geq N$について、単調性と$L$が上界であることから

$$L-\varepsilon<a_N\leq a_n\leq L$$

を得る。よって、すべての$n\geq N$で$|a_n-L|<\varepsilon$となり、$a_n\to L$が示された。

単調非増加列の場合は$(-a_n)$に同じ議論を適用するか、値域の最大下界を用いればよい。逆に、収束する実数列は必ず有界である。したがって、実数の単調列は有界である場合に限り有限な極限を持つ。

例

$n\geq1$に対して$a_n=1-\frac{1}{n}$とする。この列は単調非減少で、$1$を上界に持つ。上限は$1$なので、定理から$\lim_{n\to\infty}a_n=1$である。

対照例として $b_n=n$ は単調非減少だが上に有界でなく、有限な実数極限を持たない。上界の仮定がこのような発散を排除する。

要点

進む向きに対応する有界性をもつ実数の単調列は収束する。非減少列の極限は上限、非増加列の極限は下限である。