수학의 기초 개념: 간략 용어집

이 글의 목차

인터랙티브

함수, 단사, 전사, 전단사

단사전사전단사

A에서 B로의 함수

성질을 골라 화살표가 A와 B를 어떻게 덮는지 보세요.

f: A → B

이 글은 여러 수학 분야에서 다시 등장하는 개념 19가지를 주제별로 정리한 간략 용어집이다. 완결된 교재나 해석학 정리의 모음은 아니다. 간단한 예를 통해 정의들이 어떻게 연결되는지 살펴보며, 더 넓은 맥락은 후속 학습에서 다룬다.

집합과 집합 연산

1. 집합

집합은 서로 구별되는 대상들의 모임이며, 각 대상을 원소라 한다. $x\in X$는 $x$가 $X$의 원소라는 뜻이다. 예를 들어 $2\in\{1,2,3\}$이다.

2. 외연적 정의와 내포적 정의

집합은 원소를 나열하는 외연적 방법이나 원소가 만족하는 성질을 제시하는 내포적 방법으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 2부터 8까지의 짝수는 $\{2,4,6,8\}$ 또는 $\{n\in\mathbb Z:2\le n\le8,\ n\text{은 짝수}\}$로 쓸 수 있다.

3. 부분집합

$X$의 모든 원소가 $Y$에도 속하면 $X$는 $Y$의 부분집합이며 $X\subseteq Y$로 쓴다.

$X\subseteq Y\iff\forall x\,(x\in X\Rightarrow x\in Y).$

예를 들어 $\{1,2\}\subseteq\{1,2,3\}$이다.

4–7. 합집합, 교집합, 차집합, 여집합

합집합은 둘 중 적어도 하나에 속하는 원소를, 교집합은 두 집합에 공통으로 속하는 원소를 모은다.

$X\cup Y=\{x:x\in X\text{ 또는 }x\in Y\},\qquad X\cap Y=\{x:x\in X\text{ 그리고 }x\in Y\}.$

차집합 $X\setminus Y$는 $X$에는 속하지만 $Y$에는 속하지 않는 원소들의 집합이다. 여집합은 전체집합 $U$를 정해야 정의할 수 있으며, $X\subseteq U$일 때 $X^c=U\setminus X$이다. $X=\{1,2\}$, $Y=\{2,3\}$이면 $X\setminus Y=\{1\}$이고 교집합은 $\{2\}$이다.

8. 공집합

공집합 $\emptyset$은 원소가 없으며 모든 집합의 부분집합이다.

9. 멱집합

멱집합 $\mathcal P(X)=\{A:A\subseteq X\}$는 $X$의 모든 부분집합으로 이루어진 집합이며 $2^X$라고도 쓴다. $X$가 유한하면 $|\mathcal P(X)|=2^{|X|}$이다. 예를 들어 $\mathcal P(\{a\})=\{\emptyset,\{a\}\}$이다.

10. 데카르트 곱

데카르트 곱은 순서쌍들의 집합이다.

$A\times B=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\}.$

일반적으로 $X_1\times\cdots\times X_n$은 $i$번째 성분이 $X_i$에 속하는 순서 있는 튜플들의 집합이다. 모든 인자가 $X$이면 $X^n$으로 쓴다. 순서가 중요하므로 $(a,b)$와 $(b,a)$는 다를 수 있다.

11. 대칭차

대칭차는 $A,B$ 중 정확히 한쪽에 속하는 원소들의 집합이다.

$A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B).$

위의 $X,Y$에 대해서는 $X\triangle Y=\{1,3\}$이다.

대수적 구조와 수

12. 군과 위수

군은 이항연산 $\cdot:G\times G\to G$를 갖는 공집합이 아닌 집합 $G$로, 연산의 결합법칙, 항등원의 존재, 각 원소의 역원의 존재를 만족한다. 즉 $(xy)z=x(yz)$이고, $ex=xe=x$인 항등원 $e$가 있으며, $xx^{-1}=x^{-1}x=e$이다. 결합적인 연산을 가진 집합은 반군, 항등원도 가진 반군은 모노이드다. 연산이 교환적인 군은 아벨 군이다. 유한군의 위수는 원소의 개수다. 정수와 덧셈은 항등원 $0$을 갖는 아벨 군의 예다.

13. 대수적 수와 초월수

복소수가 유리수 계수의 0이 아닌 다항식의 근이면 대수적 수, 그렇지 않으면 초월수다. 예를 들어 $\sqrt2$는 $x^2-2$의 근이므로 대수적이다.

함수와 크기

14. 함수

함수 $f:X\to Y$는 $X$의 각 원소에 $Y$의 원소를 정확히 하나 대응시킨다. $X,Y$는 각각 정의역, 공역이고, 치역은 $f(X)=\{f(x):x\in X\}\subseteq Y$이다. $f(x)=x^2$를 $\mathbb R$에서 정의하면 치역은 $\mathbb R$ 전체가 아니라 $[0,\infty)$이다.

15. 단사, 전사, 전단사

$f(x_1)=f(x_2)$이면 $x_1=x_2$일 때 단사, 공역의 모든 원소가 실제 함수값일 때 전사, 두 조건을 모두 만족하면 전단사다. $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^3$은 전단사다.

16. 역함수

함수 $f:X\to Y$가 전단사일 때 그리고 그때에만 역함수 $f^{-1}:Y\to X$가 존재한다. $f^{-1}(f(x))=x$, $f(f^{-1}(y))=y$를 만족한다. 예를 들어 $x\mapsto x^3$의 역함수는 $y\mapsto\sqrt[3]{y}$이다.

17. 대등한 집합

집합 $A,B$ 사이에 전단사가 있으면 두 집합은 대등하며 $A\sim B$로 쓴다. 유한 집합이라면 원소 수가 같다는 뜻이다.

18. 기수와 가산성

집합 $A$의 기수 $|A|$는 그 크기를 나타내며, 유한 집합에서는 원소의 개수다. 자연수 집합 $\mathbb N$과 전단사인 무한 집합을 가산 무한이라 한다. ‘가산’은 유한 집합까지 포함해 쓰이는 경우가 많다. 짝수 정수는 $0,2,-2,4,-4,\ldots$처럼 나열할 수 있으므로 가산 무한이다. 자연수의 시작점에 맞추어 이 목록과 일대일 대응시키면 된다.

19. 기수의 비교

$A$에서 $B$로 가는 단사가 있으면 $|A|\le|B|$이고, 기수가 같다는 것은 두 집합 사이에 전단사가 있다는 뜻이다. 통상적인 기수 비교에서 $|A|<|B|$는 $|A|\le|B|$이면서 $|A|\ne|B|$임을 뜻한다. 이 용어들은 집합의 크기를 비교하기 위한 출발점이며, 무한 기수 산술 전체를 다루지는 않는다.