数学の基礎概念――簡潔な用語集

目次

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関数、単射、全射、全単射

単射全射全単射

A から B への関数

性質を選んで、矢印が A と B をどう覆うか見てください。

f: A → B

数学のさまざまな分野で繰り返し使われる19の概念を、テーマ別にまとめた用語集です。教科書全体や解析学の定理集ではありません。定義同士のつながりが見えるよう例を添えていますが、より広い背景は各分野の学習で扱います。

集合と集合演算

1. 集合

集合とは、互いに区別できる対象の集まりで、各対象を元という。$x\in X$は$x$が$X$の元であることを表す。たとえば$2\in\{1,2,3\}$である。

2. 外延的定義と内包的定義

集合は元を列挙する外延的な方法、または元が満たす性質を示す内包的な方法で表せる。たとえば2から8までの偶数は、$\{2,4,6,8\}$とも$\{n\in\mathbb Z:2\le n\le8,\ n\text{は偶数}\}$とも書ける。

3. 部分集合

$X$のすべての元が$Y$にも属するとき、$X$は$Y$の部分集合であり、$X\subseteq Y$と書く。

$X\subseteq Y\iff\forall x\,(x\in X\Rightarrow x\in Y).$

たとえば$\{1,2\}\subseteq\{1,2,3\}$である。

4–7. 和集合、共通部分、差集合、補集合

和集合は少なくとも一方に属する元を、共通部分は両方に属する元を集める。

$X\cup Y=\{x:x\in X\text{または}x\in Y\},\qquad X\cap Y=\{x:x\in X\text{かつ}x\in Y\}.$

差集合$X\setminus Y$は、$X$には属するが$Y$には属さない元からなる。補集合には全体集合$U$の指定が必要で、$X\subseteq U$に対して$X^c=U\setminus X$である。$X=\{1,2\}$、$Y=\{2,3\}$なら、$X\setminus Y=\{1\}$、共通部分は$\{2\}$となる。

8. 空集合

空集合$\emptyset$は元を持たず、どの集合の部分集合でもある。

9. 冪集合

冪集合$\mathcal P(X)=\{A:A\subseteq X\}$は$X$のすべての部分集合からなる集合で、$2^X$とも書く。$X$が有限なら$|\mathcal P(X)|=2^{|X|}$である。たとえば$\mathcal P(\{a\})=\{\emptyset,\{a\}\}$。

10. 直積

直積は順序対からなる。

$A\times B=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\}.$

一般に$X_1\times\cdots\times X_n$は、第$i$成分が$X_i$に属する順序付き組の集合である。すべての因子が$X$なら$X^n$と書く。順序が重要なので、$(a,b)$と$(b,a)$は異なることがある。

11. 対称差

対称差は$A,B$のちょうど一方に属する元からなる。

$A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B).$

上の$X,Y$では$X\triangle Y=\{1,3\}$である。

代数的構造と数

12. 群と位数

群とは、空でない集合$G$と二項演算$\cdot:G\times G\to G$の組で、演算の結合法則、単位元の存在、各元の逆元の存在を満たすものをいう。すなわち$(xy)z=x(yz)$であり、$ex=xe=x$となる単位元$e$があり、$xx^{-1}=x^{-1}x=e$となる。結合的演算を持つ集合は半群、単位元も持つ半群はモノイドである。演算が可換な群をアーベル群という。有限群の位数は元の個数である。整数全体は加法について、単位元$0$を持つアーベル群をなす。

13. 代数的数と超越数

複素数が有理数係数の0でない多項式の根なら代数的数、そうでなければ超越数である。たとえば$\sqrt2$は$x^2-2$の根なので代数的数である。

写像と大きさ

14. 写像

写像$f:X\to Y$は、$X$の各元に$Y$の元をただ一つ対応させる。$X,Y$はそれぞれ定義域、終域であり、像は$f(X)=\{f(x):x\in X\}\subseteq Y$である。$f(x)=x^2$を$\mathbb R$上で考えると、像は終域$\mathbb R$全体ではなく$[0,\infty)$である。

15. 単射、全射、全単射

$f(x_1)=f(x_2)$なら$x_1=x_2$となる写像を単射、終域のすべての元が値として現れる写像を全射という。両方を満たすものが全単射である。$f:\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=x^3$は全単射である。

16. 逆写像

写像$f:X\to Y$に逆写像$f^{-1}:Y\to X$が存在するのは、$f$が全単射の場合に限る。$f^{-1}(f(x))=x$および$f(f^{-1}(y))=y$を満たす。たとえば$x\mapsto x^3$の逆写像は$y\mapsto\sqrt[3]{y}$である。

17. 対等な集合

$A$から$B$への全単射があるとき、$A,B$は対等であるといい、$A\sim B$と書く。有限集合なら元の個数が等しいことを意味する。

18. 濃度と可算性

集合$A$の濃度$|A|$はその大きさであり、有限集合では元の個数である。自然数全体$\mathbb N$と全単射を持つ無限集合は可算無限という。「可算」は有限集合も含めて使われることが多い。偶数全体は$0,2,-2,4,-4,\ldots$のように列挙できるため可算無限である。この一覧を$\mathbb N$の始点に合わせて対応させればよい。

19. 濃度の比較

$A$から$B$への単射があれば$|A|\le|B|$であり、濃度が等しいことは両者の間に全単射があることを意味する。通常の濃度の比較で$|A|<|B|$とは、$|A|\le|B|$かつ$|A|\ne|B|$という意味である。ここで扱うのは集合の大きさを比べるための語彙であり、無限濃度の算術全体ではない。