드무아브르 공식: 정수 거듭제곱

이 글의 목차

인터랙티브

거듭제곱은 단위원 위의 각도를 배로 만든다

재생초기화

각도 θ

30°

거듭제곱 n

3

단위원 위의 z와 zⁿ

θ나 n을 움직여 zⁿ을 회전시켜 보세요.

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

극형식으로 복소수를 곱하면 절댓값은 곱해지고 편각은 더해진다. 드무아브르 공식은 이 규칙을 정수 거듭제곱에 적용한 것으로, 특히 단위원 위의 복소수 거듭제곱을 간단히 계산하게 해 준다.

공식과 정의되는 경우

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, $r\ge0$라 하고 편각 $\theta$는 라디안으로 잰다고 하자. 양의 정수 $n$에 대해

$z^n=r^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr)$

이며, $z=0$인 경우에도 성립한다. $n=0$이면 $z\ne0$일 때 양변이 정의되고 값은 $1$이다. 음의 정수 $n$에서는 $z\ne0$이어야 하며, 이때 통상적인 역수의 의미로 같은 공식이 성립한다. 즉 해당 거듭제곱이 정의되는 모든 정수 지수에 공식이 적용된다.

오일러 공식을 이용한 증명

$z\ne0$일 때 오일러 공식으로 $z=re^{i\theta}$라 쓸 수 있다. 양의 정수 지수에 대해

$$\begin{aligned} z^n &= (re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\\ &=r^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr). \end{aligned}$$

이다. 여기서 $e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi$를 사용했다. $n=0$이면 양변은 $1$이다. $n<0$이면 양의 거듭제곱 공식의 양변을 역수로 취하면 되며, 이 과정은 $z\ne0$일 때 가능하다. $z=0$이고 $n>0$이면 양변 모두 0이다. 따라서 각 경우에 공식이 성립한다.

예와 활용

절댓값이 1인 복소수 $z=\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)$에 $n=3$을 적용하면

$$\begin{aligned} z^3 &= \cos(3\pi/6)+i\sin(3\pi/6)\\ &=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)=i. \end{aligned}$$

를 얻는다. 이 계산에서는 절댓값 1은 그대로이고 편각이 세 배가 된다. 일반적으로 극형식으로 다루면 정수 거듭제곱을 절댓값의 거듭제곱과 편각의 곱으로 바꿀 수 있어, 직교좌표에서 반복해 곱하는 것보다 편리할 때가 있다.