ド・モアブルの公式――整数乗の場合

目次

インタラクティブ

べき乗は単位円上の角度を何倍にもする

再生リセット

角度 θ

30°

べき n

3

単位円上の z と zⁿ

θ や n を動かして zⁿ を回転させてください。

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

極形式で複素数を掛けると、絶対値は掛け合わされ、偏角は加えられる。ド・モアブルの公式はこの規則を整数乗についてまとめたもので、特に単位円上の複素数のべき乗を簡潔に計算できる。

公式と適用範囲

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$、$r\ge0$とし、角度$\theta$はラジアンで測る。正の整数$n$について

$z^n=r^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr)$

が成り立ち、$z=0$の場合も含む。$n=0$では$z\ne0$のとき両辺が定義され、値は$1$である。負の整数$n$では$z\ne0$が必要であり、その場合は通常の逆数として同じ公式が成り立つ。したがって、べきが定義されるすべての整数$n$に対して公式を使える。

オイラーの公式による証明

$z\ne0$なら、オイラーの公式により$z=re^{i\theta}$と書ける。正の整数乗では

$$\begin{aligned} z^n &= (re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\\ &=r^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr). \end{aligned}$$

となる。ここで$e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi$を用いた。$n=0$なら両辺は$1$である。$n<0$の場合は正のべきの式の両辺の逆数を取ればよく、これは$z\ne0$のときに限り可能である。$z=0$かつ$n>0$なら両辺とも0である。以上で各場合が示された。

例と使いどころ

絶対値1の複素数$z=\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)$に$n=3$を適用すると、

$$\begin{aligned} z^3 &= \cos(3\pi/6)+i\sin(3\pi/6)\\ &=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)=i. \end{aligned}$$

となる。この計算では絶対値1は変わらず、偏角が3倍になる。一般に、極形式なら整数乗を絶対値のべきと偏角の積に置き換えられるため、直交座標で何度も掛けるより扱いやすい場合がある。